Начинал свою карьеру в составе команды «Горячая десятка» из Железногорска. Становился многократным чемпионом красноярской школьной лиги, откуда ушел в команду «МаксимуМ». И в конце 2000 года вместе с командой в тяжёлой борьбе побеждает ветеранов томской сцены, команду «Золотые стрижи», и добиваются звания чемпионов города. Вместе с Алексеем Петренко (капитан команды Ботанический сад) редактирует команды Тихоокеанской лиги МС КВН (Хабаровск).
В 2000 году в составе команды «МаксимуМ» Минин стал чемпионом КВН г. Томска и победителем фестиваля «Студенческая весна в Сибири 2000» в НовосибирскеВ 2001 году «Максимум» играет сразу три финала — в Томске, Новосибирске и Красноярске. Количество финалов тянет на максимум, результат — призовые, но не первые места на выезде и очередное чемпионство дома. Команда работает на полную мощность (не забываем про три поездки на Высшую лигу!) Кроме того, Андрей Минин был приглашён в состав команды «Сибирские сибиряки», в составе которой провёл три игры в Высшей лиге КВН 2001. Также вместе с «МаксимуМом» стал вице-чемпионом Центральной лиги КВН «КВН-Азия» и третьим призёром Межрегиональной лиги КВН «КВН-Сибирь».В 2002 году в составе «МаксимуМа» становится финалистом Первой лиги КВН. Осенью становится призёром Кубка КВН г. Красноярска, уступив команде "Левый берег".
В 2003 году вместе со своей командой вновь становится финалистом Первой лиги КВН, победителем томской «Юморины» и Кубка КВН г. Красноярска. Также «МаксимуМ» дебютирует на фестивале «Голосящий КиВиН» в составе так называемого «блока» — внеконкурсного выступления начинающих команд.В 2004 году Минин вместе с «МаксимуМом» дебютирует в Премьер-лиге КВН и в первом же сезоне становится чемпионом, поделив первое место с «Мегаполисом». Кроме того, «максы́» (так называют себя участники команды) вновь победили на томской «Юморине».В 2005 году Минин в составе «МаксимуМа» принимает участие в 1/8 финала Высшей лиги КВН. Томичи выступают неудачно и, заняв последнее, пятое место, выбывают из Высшей лиги 2005 в первой же игре. Сезон Минин и его команда продолжают в Премьер-лиге, где второй год подряд становятся чемпионами. На музыкальном фестивале КВН в Юрмале «максы́» становятся обладателями «Малого КиВиНа в тёмном». Также «МаксимуМ» становится обладателем Кубка губернатора Новосибирской области и Кубка г. Красноярска.
В 2006 году «МаксимуМ» доходит до полуфинала Высшей лиги, где занимает второе место (в финал попадал только победитель игры), а также вновь получает «Малого КиВиНа в тёмном» на фестивале «Голосящий КиВиН 2006».В 2007 году в полуфинале Высшей лиги Андрей Минин со своей командой становится третьим, пропустив вперёд «Обычных людей» и «Пирамиду». Однако, решением президента Международного союза КВН А. В. Маслякова «МаксимуМ» получил путёвку в финал, где стал бронзовым призёром. На фестивале «Голосящий КиВиН 2007» томичи завоевали «Малого КиВиНа в светлом».В 2008 году Андрей Минин в составе своей команды сначала стал обладателем высшей награды музыкального фестиваля в Юрмале, а затем — чемпионом Высшей лиги.В 2009 году «максы» приняли участие в Летнем кубке КВН, где заняли третье место, а также завоевали «Большого КиВиНа в светлом» на фестивале «Голосящий КиВиН 2009».